民主主義は数学的に不可能なのか

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民主主義は数学的に不可能かもしれません。これは価値判断でも、人間性についてのコメントでも、歴史上の民主主義社会がいかに稀少で不安定だったかという指摘でもありません。現在私たちが行っている民主主義、つまり指導者を選ぶ方法が根本的に非合理的なのです。
これは確立された数学的事実です。この事実を証明し、ノーベル賞につながった数学についてお話しします。これは、人々がどのように意思決定を行い、私たちの投票システムがどのような落とし穴に陥るかについての話です。
選挙を行う最も単純な方法の1つは、有権者に投票用紙で1人の候補者をお気に入りとしてマークしてもらうことです。そして投票を集計し、最多票を得た候補者が当選します。これは「最初に通過した者が勝者」という投票方式として知られています。ただし、この名称は誤解を招きやすいものです。候補者たちが通過すべき基準線は実際には存在せず、単に最多票を得た候補者が勝者となるだけです。
この方式は古代にまで遡る可能性があります。イギリスでは14世紀から下院議員の選出に使用されており、現在でも世界44カ国がこの方式で指導者を選んでいます。そのうち30カ国は旧イギリス植民地でした。アメリカも旧イギリス植民地として、ほとんどの州で選挙人を選出する際にこの方式を採用しています。
しかし最初に通過した者が勝者となる方式には問題があります。議会の代表者を選ぶ場合、国民の過半数が投票していない政党が権力を握るという状況が頻繁に発生します。過去100年間で、イギリス議会で単独政党が過半数の議席を獲得したのは21回ありましたが、その政党に対して実際に過半数の有権者が投票したのはわずか2回でした。
つまり、少数派の支持しか得ていない政党が、政府の全権力を握ることになるのです。この方式によって起こるもう1つの問題は、似たような政党が互いの票を奪い合うことです。2000年のアメリカ大統領選挙は、本質的にアル・ゴアとジョージ・W・ブッシュの間の戦いでした。
当時、全州がこの投票方式を採用していました。フロリダ州ではブッシュがより多くの票を獲得しましたが、その差はわずか600票未満という驚くほど僅差でした。しかし投票用紙には別の候補者、ラルフ・ネーダーもいました。ネーダーは緑の党の候補者で、明らかにゴアやブッシュよりも左派でした。
「私たちに必要なのは、特別利益団体の力に対抗するための市民の関心の高まり、貧困層も富裕層も中産階級も含めた人々の関心です」
フロリダ州で彼はほぼ10万票を獲得しました。
「私は良心的にブッシュやゴアに投票できるかどうか分かりません」
「私はラルフ・ネーダーに投票します」
ネーダーに投票したほとんどの有権者は、ゴアではなくブッシュが当選する結果となったことに愕然としました。これはスポイラー効果と呼ばれるものです。ネーダーの支持者のほとんどがブッシュよりもゴアを望んでいましたが、この投票方式では1人の候補者にしか投票できないため、その選好を表現する方法がありませんでした。
そのため、この方式は有権者に戦略的な投票を促すことになります。5つの政党があるとして、そのうち1つは最小の政党となり、勝てません。なぜそこに投票するでしょうか？これは4つの政党や3つの政党でも同じです。この勝者総取り方式は、より大きな政党への権力の集中をもたらし、最終的に二大政党制へと導きます。
この効果は一般的で、デュヴェルジェの法則として知られています。つまり、この方式は良い選択肢とは言えません。では他にどのような方法があるでしょうか？
候補者が当選するには過半数、つまり50%プラス1票以上を獲得する必要があると定めることができます。しかし選挙を行って誰も過半数を獲得できなかった場合はどうするでしょうか？最少得票の候補者に投票した人々に再度投票してもらい、別の候補者を選んでもらうことができます。この過程を繰り返し、1人の候補者が過半数に達するまで続けることができます。
しかし何度も選挙を行うのは大変な手間です。そこで代わりに、有権者に候補者を好きな順に順位付けしてもらうことができます。そして彼らのお気に入りの候補者が落選した場合、次点の候補者に票を回すのです。
投票所が閉まったら、有権者の第一希望を集計します。過半数を獲得した候補者がいれば、その人が勝者となります。しかし誰も過半数を獲得できなかった場合、最少得票の候補者を除外し、その票を有権者の第二希望の候補者に振り分けます。これを1人の候補者が過半数を獲得するまで続けます。
これは複数回の選挙を行うのと数学的に同じですが、時間と手間を省けるためインスタント・ランオフ（即時決選投票）と呼ばれています。この方式は優先投票や順位選択投票としても知られています。インスタント・ランオフは有権者だけでなく、候補者同士の振る舞いにも影響を与えます。
2013年のミネアポリス市長選では、この順位選択投票が採用されました。現職市長が退任を表明し、多くの人々が市長になりたいと名乗りを上げました。35人の候補者がいました。35人もの候補者がいれば、誰かを批判したり、注目を集めようとしたりするだろうと思うかもしれません。
しかしそうはなりませんでした。35人の候補者全員が互いにとても親切で、非常に丁寧でした。最後の市長候補討論会の終わりには、全員が集まって「クンバヤ」を歌ったほどです。
私たちが慣れ親しんでいる敵意や怒り、党派的な中傷合戦がある中で、実際の「クンバヤ」を目にするのは冗談ではありません。全員が仲良く、他の人からの第二、第三希望を得たいと必死になって、「私は完璧で最も親切な候補者になります」と振る舞っていたのです。
しかしインスタント・ランオフにも問題があります。候補者の成績が悪化することで、かえって当選につながるケースが発生する可能性があります。
アインシュタイン、キュリー、ボーアの3人の候補者がいるとしましょう。アインシュタインとボーアは非常に対立する見解を持っており、キュリーはイデオロギー的に中道です。アインシュタインが25%、キュリーが30%、ボーアが45%の票を獲得したとします。誰も過半数を獲得していないため、第二ラウンドに進みます。アインシュタインが除外され、アインシュタインに投票した人々が第二希望としてキュリーを選んだため、最終的にキュリーが当選します。
しかしここで、ボーアがひどい選挙演説をしたり、非常に不人気な政策を提案したりして、支持者の一部がアインシュタイン側に移ったとします。すると今度はキュリーが除外され、より穏健な彼女の支持者の半分がアインシュタインを、もう半分がボーアを第二希望として選び、結果としてボーアが勝利します。
つまり、ボーアが第一ラウンドで成績を落としたことが、かえって彼の当選につながったのです。明らかに、これは投票システムに望ましい特性ではありません。
フランスの数学者コンドルセもそう考えました。コンドルセは論理学と数学を厳密に投票システムの研究に適用した最初の人物の1人で、社会的選択理論という数学の分野の創始者の1人となりました。
彼はフランス革命の時代に活動していたため、人々の意思を公平に決定することは当時の文化的な焦点となっていました。1784年、フランス王立科学アカデミーでコンドルセの同僚だったジャン＝シャルル・ド・ボルダが投票方式を提案しました。有権者に候補者の順位付けを求めるのです。
5人の候補者がいる場合、1位に順位付けすると4点、2位だと3点というように配点し、最下位は0点となります。しかしボルダ式集計には問題があります。各候補者に与えられる点数が候補者総数に依存するためです。
当選の可能性のない追加の候補者が勝者に影響を与える可能性があります。このためコンドルセはボルダのアイデアを嫌いました。彼は「無関係な要因に基づいて判断を下すため、必然的に誤りを導く」と書きました。そこで1785年、コンドルセは新しい投票システムを提案する論文を発表しました。彼が最も公平だと考えたシステムです。
基本的に勝者は、他のすべての候補者との一対一の対決で勝たなければなりません。しかし2人以上の候補者がいる場合、勝者を決めるために多くの一対一の選挙を行う必要があるのでしょうか？いいえ。インスタント・ランオフと同様に有権者に好みの順位付けを求め、各候補者を他の候補者より上位に順位付けした有権者の数を数えればよいのです。
これが最も公平な投票方法に感じられます。この投票システムは実は450年前、教会指導者の選出方法を研究していた修道士ラモン・リュルによって発見されていました。しかしリュルのアイデアは影響を与えることはありませんでした。彼の著書「選挙の技法」は失われ、2001年になってようやく再発見されたためです。
そのため、この投票システムはリュルではなくコンドルセの名を冠しています。しかしこの方法で常に勝者が決まるのでしょうか？あなたと2人の友人で夕食を選ぶ際にコンドルセの方法を試してみましょう。選択肢は3つ：ハンバーガー、ピザ、寿司です。あなたはハンバーガーが大好きなので第一希望とし、第二希望はピザ、最後が寿司です。
友人の1人はピザ、寿司、ハンバーガーの順で好み、もう1人は寿司、ハンバーガー、ピザの順です。ハンバーガーを選んだ場合、寿司の方が勝つべきだと主張できます。なぜなら2人があなた1人に対してハンバーガーより寿司を好むからです。しかし同じ論理で、ピザは寿司より好まれ、ハンバーガーはピザより2対1の割合で好まれています。
つまりあなたたちは堂々巡りに陥ってしまいます。ハンバーガーはピザより好まれ、ピザは寿司より好まれ、寿司はハンバーガーより好まれ、というように続きます。この状況はコンドルセのパラドックスとして知られています。コンドルセは自身の投票システムのこの問題を解決する前に亡くなりました。彼はフランス革命期に政治的に活動し、フランス憲法の草案を執筆していました。
1793年、恐怖政治の時代にラ・モンターニュが政権を握ると、彼は体制、特に新憲法を批判したことで反逆者とされました。翌年、彼は逮捕され、獄中で亡くなりました。
その後150年以上にわたり、多くの数学者が独自の投票システムを提案したり、コンドルセやボルダのアイデアを修正したりしました。そうした数学者の1人がチャールズ・ドジソン、より有名な名前でいえばルイス・キャロルでした。「不思議の国のアリス」を書いていない時、彼は公平な選挙を行うシステムの考案に取り組んでいました。しかしどの投票システムも同様の問題を抱えていました。コンドルセのループが発生するか、当選の可能性のない候補者が選挙結果に影響を与えてしまうか、というものでした。
1951年、ケネス・アローは博士論文を発表し、その中で合理的な投票システムが持つべき5つの明白で合理的な条件を示しました。条件その1：グループの全員が1つの選択肢を他の選択肢より好む場合、結果はそれを反映すべきです。全員が寿司をピザより好むなら、グループ全体としても寿司をピザより好むべきです。
これは全会一致性として知られています。条件その2：1人の投票が他の全員の選好を覆すべきではありません。全員がピザに投票し、1人だけが寿司に投票した場合、グループは明らかにピザを選ぶべきです。1票が決定的であるなら、それは民主主義ではなく独裁制です。
条件その3：誰もが好きなように投票でき、投票システムは毎回すべての投票用紙に基づいて社会の結論を出さなければなりません。問題のある投票や候補者を無視したり、ランダムに推測したりすることはできず、同じ投票用紙セットに対して毎回同じ答えを出さなければなりません。
これは無制限領域と呼ばれます。条件その4：投票システムは推移的であるべきです。グループがハンバーガーをピザより好み、ピザを寿司より好むなら、ハンバーガーを寿司より好むべきです。これは推移性として知られています。条件その5：グループの選好が寿司をピザより好むものである場合、ハンバーガーのような別の選択肢の導入がその選好を変えるべきではありません。
確かに、グループは全体としてハンバーガーを両方より上位に、または中間に、あるいは最下位にランク付けするかもしれません。しかし寿司のピザに対する順位は新しい選択肢の影響を受けるべきではありません。これは無関係な選択肢からの独立性と呼ばれています。しかしここで重要なのは、アローが3人以上の候補者がいる順位付け投票システムでこれら5つの条件をすべて満たすことは不可能だと証明したことです。
これがアローの不可能性定理で、その画期的な内容により1972年にアローはノーベル経済学賞を受賞しました。ジェナコプロスによる定式化に基づいて、その証明の一バージョンを見ていきましょう。3人の候補者、アリストテレス、ボーア、キュリーが立候補しているとしましょう。彼らをA、B、Cと呼び、有権者たちを順番に並べます。
投票者1、2、3と続き、Nまで並びます。各投票者はA、B、Cを好きなように順位付けできます。同順位も認めます。まず示したいのは、全員が特定の候補者を1位または最下位にランク付けした場合、社会全体としてもその候補者を1位または最下位にランク付けしなければならないということです。
任意にBを選びましょう。例えば半数の投票者がBを1位に、半数が最下位にランク付けした場合、主張は私たちの投票システムがBを1位か最下位に置かなければならないということで、これを背理法で証明します。全員がこのように投票したとします。もし私たちのシステムがBを1位でも最下位でもなく、中間に置くとします。例えばAがBより上位で、BがCより上位だとすると、矛盾が生じます。
各投票者がCをAの上に移動させた場合、全会一致性によりCはAより上位にランク付けされなければなりません。しかしAに対するBの位置は変更していないため、AはまだBより上位にランク付けされなければならず、Cに対するBの位置も変更していないため、CはまだBより下位にランク付けされなければなりません。推移性により、AがBより好まれ、BがCより好まれるなら、AはCより上位にランク付けされなければなりません。
しかしこれは全会一致性による結果と矛盾します。これにより、全員が候補者を1位または最下位にランク付けする場合、社会もその候補者を1位または最下位にランク付けしなければならないことが証明されました。次に、全投票者がBを順位の最下位に置く思考実験をしてみましょう。AとCの順位は任意のままにします。全会一致性により、Bは社会の順位でも最下位でなければならず、これをプロファイル0と呼びます。
次にプロファイル1を作ります。これはプロファイル0と同じですが、最初の投票者がBを最下位から最上位に移動させた点が異なります。これはもちろん結果に影響しませんが、プロファイル2、3、4と続けることができ、毎回1人の投票者がBを最下位から最上位に変更します。これを続けていくと、最終的にBを最下位から最上位に変更することで初めて社会の順位を逆転させ、Bを最上位に移動させる投票者が現れます。
この投票者を重要な投票者と呼び、そのプロファイルをpとラベル付けします。プロファイルoは重要な変更が起こる直前のプロファイルです。次にプロファイルqを作ります。これはpと同じですが、重要な投票者がAをBの上に移動させた点が異なります。無関係な選択肢からの独立性により、社会の順位もAをBの上に置かなければなりません。
すべての投票者にとって、AとBの相対的な位置はプロファイルoと同じであり、BはCより上位にランク付けされなければなりません。なぜならBとCの相対的な位置は、重要な投票者がBを最上位に移動させたプロファイルpと同じだからです。推移性によりAは社会の順位でCより上位にランク付けされなければなりません。
これは重要でない投票者がAとCの位置をどのように並べ替えても真です。なぜならこれらの並べ替えはAに対するBの位置やCに対するBの位置を変更しないからです。これは重要な投票者が実際にAのCに対する社会の選好を決定する独裁者であることを意味します。他の投票者が何をしようと、社会の順位は常に重要な投票者に同意します。
同様の思考実験でCを最下位に置き、再び独裁者が存在することを証明できます。この場合、その投票者はAのBに対する社会の選好を決定します。そしてこの投票者はAのCに対する社会の選好を決定する投票者と同じであることが分かります。したがって重要な投票者は完全な独裁者なのです。
では民主主義は運命づけられているのでしょうか？アローの不可能性定理はそう示唆しているようです。3人以上の候補者から選ぶ場合、有権者の選好を合理的に集約する順位選択方式は存在しません。常に何かを諦めなければなりません。
しかし数学者のダンカン・ブラックは、より楽観的な定理を見出しました。これは実際の状況をより良く表現しているかもしれません。有権者と候補者が自然に1つの次元に沿って分布している場合、例えば左派のリベラルから右派の保守まで分布している場合（これは他の政治的次元にも適用可能です）、ブラックは中位投票者の選好が多数決の結果を反映することを示しました。中位投票者の選択が多くの場合選挙結果を決定し、これは有権者の過半数の意思と一致し、アローが指摘したパラドックスや矛盾を回避します。
さらに良いニュースもあります。アローの不可能性定理は、有権者が候補者を順位付けする序数的投票システムにのみ適用されます。別の方法として評価投票システムがあります。最も単純なバージョンは承認投票として知られ、候補者の順位付けの代わりに、有権者は承認する候補者にチェックを入れるだけです。
各候補者をどの程度好むかを示すバージョンもあり、例えば-10（強く不承認）から+10（強く承認）までの範囲で示します。研究によると、承認投票は投票率を上げ、ネガティブキャンペーンを減少させ、スポイラー効果を防ぐことが分かっています。有権者は投票する政党の規模を気にすることなく、候補者への承認を表明できます。
集計も簡単で、各候補者を承認した有権者の割合を数え、最も承認率の高い候補者が勝利します。ケネス・アローは当初評価投票システムに懐疑的でしたが、晩年には恐らくこれが最良の方法だと同意しました。承認投票は新しいものではありません。
1294年から1621年まで、バチカンの司祭たちは教皇を選出するためにこれを使用していました。また国連事務総長の選出にも使用されていますが、大規模な選挙では広く使用されていないため、より多くの実地試験が必要かもしれません。
では民主主義は数学的に不可能なのでしょうか？世界の多くの国が指導者を選ぶために使用している順位選択方式を使う場合は、そうです。そして一部の方式は明らかに他よりも人々の選好を集約するのに優れています。最初に通過した者が勝者となる投票方式は、そのすべての欠陥を考えると、私にはまったく滑稽に感じられます。
しかし物事が完璧でないからといって、試みるべきではないということにはなりません。世界に関心を持ち、問題について考え、政治に参加することは重要です。それは私たちが世界に実質的な違いをもたらせる数少ない方法の1つかもしれません。ウィンストン・チャーチルが言ったように、「民主主義は他のすべての試みられた形態を除けば最悪の政府形態である」のです。民主主義は完璧ではありませんが、私たちが持っている最良のものです。ゲームは歪んでいるかもしれませんが、町にある唯一のゲームなのです。
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